公理和定理的区别是什么？两点间线段最短究竟是公理还是定理的历史知识

小时候刚学下棋的时候，老爷子教我“马走日，象飞田”。

我问他，为什么非得“马走日，象飞田”，就不能“马走田，象飞日”吗？

老爷子说，你那就不叫象棋了，可以叫“马棋”，但是大家都玩象棋，没人陪你玩马棋，你定的这个规矩不就没用了嘛。

我说，那不要紧啊，我把马和象的位置调换一下，不就跟原来的下法一样了吗？

老爷子说，那跟原来的下法一样，你还非得改个名干嘛呢？

我一琢磨，也对，之后也就不纠结这个问题了。

后来老爷子又教了我一招“马后炮”，说你就奔着这个走，走出来就赢了。

于是我学会了第一招“定式”。

数学跟象棋其实差不多，“马走日，象飞田”就是公理，“马后炮”则是定理。

熟悉公理之后，公理就没什么用了，想将死对手还得靠“马后炮”这些定理。

当然了，公理系统不止一种，可以有无数种，例如你可以设定“马走田，象飞日”。

公理甚至可以是绝对抽象的，以至于可以与客观世界毫无联系，例如谁见过“象飞田”是什么鬼？

但只要这一套基础规则自洽，不出现“马走日，马飞田”的情况，大家就可以通过这一套基础规则演化出很多“棋局”。

玩得人多了，大家都觉得有意思，这玩意就流行了，直至形成一门学问，还有“大师”这种称号。

数学的本质其实也是这样一种游戏，只不过有些时候系统中演化出来的某些定式可以帮助我们对客观世界建模解并决实际问题，所以数学的实用价值就比象棋高很多。

所以什么叫公理呢？

这玩意是不证自明的基本假设，在经过人类漫长实践验证之后，现有的公理系统在为客观事物建模时可以达到自洽，相互之间没有重叠，在限定范围内似乎可以推导出绝大多数命题。

例如在初中几何中，基于九条公理可以证明足够多的定理，当然，因为包含了初等数论描述，也必然存在既无法证实又无法证伪的命题……

我看有人提到了“两点之间线段最短”是公理还是定理的争议。

“线段公理”确实并不是欧几里德“五公设”之一，而属于我们初中教材中的“九公理”。

不过别以为初中教材就只有初中水平，编教材的可不是初中生，而且不是一个人，而是一个团队。

这里面不乏数学教授、知名学者，甚至背后有院士及国际知名数学家提供理论支撑，其严谨性还是值得敬畏的。

欧几里得将几何相关的基本假设称之为“公设”——postulate，即无需证明的基本假设。

将代数相关的称之为“公理”——axiom，即大多数人认为正确的原则。

用到了两个不同的单词加以区分，我们翻译的时候也是分开翻译，但为什么初中的几何“九公理”称为公理，而不称为公设呢？

我想这里面应该是有深意的，编者可能是有意区将其与欧几里得“公设”做了区分，抑或是认为公理和公设并无本质区别，其实质都是不可证明且无需证明的底层假设。

所谓底层假设其实就是对底层概念的定义，这已经无关乎数学，而是哲学、语言学、乃至认知层面的问题。

所谓“两点之间线段最短”说的是“长度”最短，那么什么是“长度”呢？

“长度”是曲线上无数相邻点之间的“距离”——dx之和。

那么什么是“距离”呢？

“距离”即两点之间最小“长度”，而这种长度在宏观上的感性直观即“线段”。

当然你是不是会反驳说，dx可以被定义为完全脱离感性直观的抽象概念？

但我认为，本着“如非必要，勿增实体”的原则，在处理这个问题时并没有必要另外创造全新的dx定义。

那么在此前提下，“长度”、“距离”、“线段”、“短”就是对同一概念的一组不可分割的表达。

因此“两点间线段长度最短”是将以上一组概念相关联形成的一个“组合定义”，因此说他是公理并无不妥，同时也没有必要去新增dx这个概念去加以证明。

当然了，在出于其他目的所建立的其他公理系统中，“线段最短”是可以基于该系统的其他公理进行证明的，因此在那个公理系统中，线段最短就成了“定理”而非“公理”。

如此看来，“公理”和“定理”也并非绝对的，在不同系统中，公理可以成为定理，定理也可以成为公理。

就好比“马走日”可以是公理，但如果更改基础假设为“马每平移1就必须前进或后退2”，那么“马走日”就变成了可以被证明的定理。

而实际上，这两种定义方式绝对等价，你其实只是重新声明了“日”的定义而已。

反正收藏你也不看，点个赞意思下得了……